Funktionalanalysis PDF

Eine kleine Warnung: Die Aufgaben stammen aus der Zeit vor Erfindung funktionalanalysis PDF Kompetenzen und sind manchmal rechnerisch nicht ganz einfach. Achsensymmetrie von Graphen ganzrationaler Funktionen 4. Dieser Artikel behandelt das mathematische Funktional.


Författare: Rer. nat. Harro Heuser.

Zum Adjektiv funktional siehe Funktionalität und Funktion. Körper, der dem Vektorraum zugrunde liegt. Funktionenraum, also ein Vektorraum, dessen Elemente reell- oder komplexwertige Funktionen sind. Ein Funktional ist dann eine Funktion auf Funktionen. Als grundlegende Unterscheidung ist es sinnvoll, lineare und nichtlineare Funktionale gesondert zu betrachten, da diese beiden Arten von Funktionalen auf sehr unterschiedliche Weise in der Mathematik behandelt werden. Dieses Funktional heißt Delta-Distribution oder Dirac-Delta. Addition und Skalarmultiplikation punktweise definiert, d.

Dualraum kanonisch isomorph zum Vektorraum selbst, d. Der Dualraum ist in diesem Fall also gleich groß, hat aber bezüglich der kanonischen Abbildung eine andere Skalarmultiplikation. Im Sinne der linearen Algebra sagt man auch: Der Dualraum ist kanonisch isomorph zum komplex konjugierten Vektorraum. Für allgemeine endlichdimensionale Vektorräume kann man durch die Wahl einer Basis und Anwendung der beiden ersten Fälle zeigen, dass der Dualraum immer die gleiche Dimension wie der Ursprungsraum hat. Die Abbildungen zwischen dem Vektorraum und dem Dualraum sind dann aber im Allgemeinen nicht kanonisch.

Für unendlichdimensionale Vektorräume ist der Fall wesentlich komplizierter. Hilberträume, ist der Vektorraum zwar ein kanonischer Unterraum, im Allgemeinen gilt dies allerdings nicht. Wie gerade gesehen, ist der algebraische Dualraum eines unendlichdimensionalen Vektorraums immer größer oder gleich dem ursprünglichen Vektorraum. Man kann sogar behaupten, dass diese Dualräume oft riesig sind und viele Elemente enthalten, die mathematisch kaum handhabbar sind. In einem topologischen Vektorraum sind nun im Allgemeinen nicht alle linearen Funktionale stetig. Dies ist gerade die Topologie, die der normalen Standard-Analysis zugrunde liegt, und in dieser ist jedes lineare Funktional stetig.

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