Elementare Zahlentheorie PDF

Dieser Artikel existiert elementare Zahlentheorie PDF als Audiodatei. Die verschiedenen Teilgebiete der Zahlentheorie werden gemeinhin nach den Methoden unterschieden, mit denen zahlentheoretische Fragestellungen bearbeitet werden. Von der Antike bis in das siebzehnte Jahrhundert behauptete sich die Zahlentheorie als grundständige Disziplin und kam ohne andere mathematische Teilgebiete aus. Auch heute noch wird in einzelnen Fragen zu Teilbarkeit, Kongruenzen und Ähnlichem mit elementaren zahlentheoretischen Methoden geforscht.


Författare: Gerhard Frey.

Die folgende Einflihrung in die Zahlentheorie entstand aus Vorlesungen, die· ich an der Universitiit des Saarlandes gehalten habe; sie urnfa~t ziernlich genau den Stoff, der im Verlauf eines Wintersemesters im Rahmen der Vorlesung tiber "Elementare Zahlentheorie" behandelt wurde. Diese Vorlesung hat zwei Ziele: Einerseits sollen moglichst viele Studenten angesprochen werden, denen die Vorlesung "mathematische Allgemeinbil­ dung" auf dem Gebiet der Zahlentheorie vermitteln soli; die fiir die Vor- Ie sung notwendigen Voraussetzungen z.B. auf dem Gebiet der Algebra sollen also moglichst gering sein. Tatsiichlich sollte die Kenntnis der algebraischen Grundstrukturen und ihrer elementarsten Eigenschaften geniigen; wenn an einigen Stellen etwas weitergehende Vberlegungen erforderlich sind, wird ver­ sucht, diese an Ort und Stelle bereitzustellen. Der Abschnitt tiber abelsche Gruppen kann als Beispiel dazu dienen. Natiirlich mu~ man fiir diese Vor­ gehen auch bezahlen, oft ersetzt das Rechnen zu Fu~ den eigentlich viel ein­ leuchtenderen strukturellen Beweis, die lastigen Nachrechnungen bei Ver­ kntipfungen von Restklassen sind ein deutliches Beispiel damr. Andererseits soli die Vorlesung interessierte Studenten auf die Algebraische Zahlentheorie vorbereiten; das Erreichen dieses Ziels sollte durch die Stoff­ auswahl untersttitzt werden.

Als Erster wurde Euler darauf aufmerksam, dass man Methoden der Analysis und Funktionentheorie benutzen kann, um zahlentheoretische Fragestellungen zu lösen. Eine solche Herangehensweise bezeichnet man als analytische Zahlentheorie. Im Zusammenhang mit dem Primzahlsatz wurde erstmals die Riemannsche Zeta-Funktion untersucht, die heute zusammen mit ihren Verallgemeinerungen Gegenstand sowohl analytischer als auch algebraischer Forschung und Ausgangspunkt der Riemannschen Vermutung ist. Einen der großen Meilensteine der Zahlentheorie bildete die Entdeckung des quadratischen Reziprozitätsgesetzes. Für die Formulierung der modernen algebraischen Zahlentheorie sind die Sprache der homologischen Algebra und insbesondere die ursprünglich topologischen Konzepte der Kohomologie, Homotopie und der abgeleiteten Funktoren unerlässlich.

Zu jedem Zahlkörper gehört eine Zeta-Funktion, deren analytisches Verhalten die Arithmetik des Zahlkörpers widerspiegelt. Auch für die Dedekindschen Zeta-Funktionen ist die Riemannsche Vermutung im Allgemeinen unbewiesen. Die algorithmische Zahlentheorie ist ein Zweig der Zahlentheorie, der mit dem Aufkommen von Computern auf breites Interesse stieß. Dieser Zweig der Zahlentheorie beschäftigt sich damit, wie zahlentheoretische Probleme algorithmisch effizient umgesetzt werden können.

Anwendungen der Zahlentheorie finden sich in der Kryptographie, insbesondere bei der Frage nach der Sicherheit der Datenübertragung im Internet. Ein weiteres Anwendungsgebiet ist die Codierungstheorie, die sich in ihrer modernen Form auf die Theorie der algebraischen Funktionenkörper stützt. Die ersten schriftlichen Nachweise der Zahlentheorie reichen bis ca. Die Babylonier und Ägypter kannten in dieser Zeit bereits die Zahlen kleiner als eine Million, die Quadratzahlen und einige pythagoreische Tripel. Die systematische Entwicklung der Zahlentheorie begann jedoch erst im ersten Jahrtausend v. Pythagoras erfundene Methode des mathematischen Beweises in die Zahlentheorie einführte. Im dritten Jahrhundert nach Christi beschäftigte sich als Erster der griechische Mathematiker Diophantos von Alexandria mit den nach ihm später benannten Gleichungen, die er mit linearen Substitutionen auf bekannte Fälle zu reduzieren versuchte.

Damit konnte er tatsächlich einige einfache Gleichungen lösen. Lösungen viele Jahrhunderte in Anspruch nahmen, und die exemplarisch für die Entwicklung der Zahlentheorie stehen. Mit dem Untergang der griechischen Staaten erlosch auch die Blütezeit der Zahlentheorie in Europa. Der Versuch einer allgemeinen Lösung des großen Satzes inspirierte die Methoden der Zahlentheorie über die nächsten Jahrhunderte bis in die Moderne.

Eulers Gesamtwerk ist sehr umfangreich, und an dieser Stelle kann nur ein kleiner Teil seines zahlentheoretischen Wirkens genannt werden. Er führte die analytischen Methoden in die Zahlentheorie ein und fand auf diese Weise einen neuen Beweis für die Unendlichkeit der Menge der Primzahlen. Lagrange bewies den Satz von Wilson, begründete die systematische Theorie der Pellschen Gleichung und die Theorie der quadratischen Formen, die erst in der ersten Hälfte des zwanzigsten Jahrhunderts ihren Abschluss fand. Legendre führte das Legendre-Symbol in die Zahlentheorie ein und formuliert das quadratische Reziprozitätsgesetz in seiner heutigen Form.

Sein Beweis verwendet allerdings die Unendlichkeit der Menge der Primzahlen in arithmetischen Progressionen, die erst im Jahre 1832 von Peter Gustav Lejeune Dirichlet bewiesen wurde. Er entwickelte Legendres Theorie der quadratischen Formen weiter und baute sie zu einer vollständigen Theorie aus. Ebenso untersuchte er zuerst die Kreisteilungskörper, d. Kalkül der Gaußschen Summen, der bis heute große Bedeutung hat. Er entdeckte außerdem den gaußschen Primzahlsatz, konnte ihn allerdings nicht beweisen. Insgesamt kann man sagen, dass die Zahlentheorie erst durch Gauß eine selbständige und systematisch geordnete Disziplin geworden ist. Vor allem das neunzehnte Jahrhundert ist eine Blütezeit der analytischen Zahlentheorie.

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