Das kleine Buch der Zahlen – Vom Abzählen bis zur Kryptographie PDF

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Författare: Peter M. Higgins.
Zahlen faszinieren die Menschen seit Jahrhunderten – sie bilden ein wesentliches Fundament für unser Verständnis der Welt. Dennoch sind sie schwer greifbar und abstrakter als Farben oder Gefühle. Higgins verarbeitet Jahrhunderte des Fortschritts zu einer erbaulichen Erzählung, die das Geheimnisvolle der Zahlen hervorhebt. Er erklärt, wie es zu den verschiedenen Arten von Zahlen gekommen ist und weshalb sie so nützlich sind, erläutert einfache Zahlenrätsel und zieht aufschlussreiche Verbindungen zu Problemen des Alltags. Die Geschichte der Zahlen in einer guten Mischung aus Anspruch und Leichtigkeit.

Zahlen sind abstrakte mathematische Objekte beziehungsweise Objekte des Denkens, die sich historisch aus Vorstellungen von Größe und Anzahl entwickelten. In der Mathematik, welche Zahlen und ihre Struktur formal untersucht, schließt der Begriff sehr verschiedenartige Konzepte mit ein. Diese entwickelten sich als Verallgemeinerungen bestehender intuitiver Zahlkonzepte, sodass man sie ebenfalls als Zahlen bezeichnet, obwohl sie teilweise wenig Bezug zu den ursprünglich mit Messungen verbundenen Konzepten haben. In die Urgeschichte zurück reicht das Konzept der natürlichen Zahlen, welche zum Zählen verwendet werden können und grundlegende Bedeutung besitzen. Die Idee imaginärer Zahlen, durch die die reellen Zahlen später zu den bedeutenden komplexen Zahlen erweitert wurden, reicht in die europäische Renaissance zurück. Der Begriff der reellen Zahl konnte erst im 19. Zahlenverständnis von Menschen in der Zeit vor einer ersten schriftlichen Überlieferung lässt sich wegen fehlender Belege kaum Sicheres sagen.

Die Bedeutung regelmäßiger Anordnungen von Strichen oder Kerben, die sich aus dieser Zeit erhalten haben, kann in der Regel nur vermutet werden. Hinweise zur Vorstellung von Zahlen in einer vorgeschichtlichen Kultur können hingegen die jeweiligen Sprachen möglichst früher, geschichtlich dokumentierter Nachfolgerkulturen oder auch heute noch existierende, verwandte Sprachen sowie die bekannten Sprachen von alten, ähnlichen Kulturen geben. Menge bestimmter Gegenstände, was am ehesten in der heutigen Mathematik dem Begriff der Kardinalzahl entspricht. Anzahlen sagen zu können, bildeten andere Völker weitere Zahlwörter. Auf diese Art lassen sich schon so große Zahlen bilden, dass für deren genaue Erfassung es erforderlich wird, eine entsprechende Anzahl von Gegenständen zu zählen. Dabei muss jedoch noch keine Trennung der Zahlen von der Art der gezählten Gegenstände vorliegen: bei manchen Völkern gibt es so genannte Zählklassen, die für die gleiche Zahl jeweils ein eigenes Zahlwort haben. Mit der Loslösung von der Art der Gegenstände, also wenn unabhängig von den gezählten Gegenständen das gleiche Zahlwort für die gleiche Anzahl benutzt wird, erhalten Zahlen Selbstständigkeit und werden als etwas Eigenes aufgefasst.

Bei indoeuropäischen Sprachen ist dies allgemein für Zahlen größer als vier zu beobachten. Im alten Ägypten fand mindestens seit ca. Zahlensystem zur Basis 10 Verwendung zur Darstellung natürlicher Zahlen. Motivation der altägyptischen Mathematik waren dabei meist Bauwesen, Landvermessung und Wirtschaft, Beweise finden sich nicht. Jedoch finden sich zum Teil auch Probleme, die als humorvoll oder unterhaltsam intendiert interpretiert werden.

Ebenfalls gibt es reichhaltige mathematische Zeugnisse aus dem Mesopotamien des Altertums. In sumerischer Zeit entwickelte sich dort ein additives Zahlensystem basierend auf den Basen 10 und 60. Logarithmen, wie sie bei der Zinsrechnung auftraten, wurden näherungsweise dargestellt. Aus dem antiken Griechenland sind eine Vielzahl mathematischer Erkenntnisse überliefert.

Verständnis von Beweisen, durch die die Ergebnisse in einer der heutigen Mathematik nahekommenden Strenge bewiesen wurden. Eine besondere Bedeutung hatte ab dem 6. Aus nicht vollständig geklärten Gründen legte die darauffolgende griechische Mathematik einen großen Wert auf die Geometrie, trotz des Einflusses der Pythagoreer, unter denen die Arithmetik als grundlegend aufgefasst worden war. Bezüglich des Zahlbegriffs der Griechen muss festgestellt werden, dass sie nicht über ein Konzept rationaler Zahlen als algebraische Objekte oder Erweiterung der natürlichen Zahlen verfügten. Beweis lieferte, womöglich aber schon vor 400 v. Diese Definition gilt sogar analog für den heutigen Begriff der reellen Zahlen.

Der Begriff der Zahl ist nicht mathematisch definiert, sondern ist ein gemeinsprachlicher Oberbegriff für verschiedene mathematische Konzepte. Daher gibt es im mathematischen Sinn keine Menge aller Zahlen oder dergleichen. Die Mathematik spricht, wenn sie sich mit Zahlen befasst, stets über bestimmte wohldefinierte Zahlbereiche, d. Was beweisbar ist, soll in der Wissenschaft nicht ohne Beweis geglaubt werden.

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